西安高新第一中学高中部   王东明
向量进入中学数学教材，是近几十年来国内外数学教学改革的一个重要特征．从六十年代的新数运动到七十年代末的回到基础，许多国家的数学课程都不同程度地涉及到平面向量．日本数学课程安排的必学内容虽然较少，但是却安排不少的向量知识作为必学内容．前苏联也曾致力于用向量、变换等来处理欧氏几何．进入二十一世纪，我国人教社编写的高中《数学》实验课本，将向量作为高中数学的必学内容，是一个重大举措． 
平面向量在我国的这一次课程改革中之所以被列入高中数学必学内容，主要基于以下几个原因：
1．平面向量这部分知识本身很重要，作为工具性知识广泛应用于三角、解析几何、立体几何的教学中，可以利用向量处理传统内容．例如在三角部分，利用向量证明正弦定理、余弦定理，既简捷又易于接受；在立体几何、解析几何部分，利用空间向量证明直线与平面的性质定理，较好地处理直线与平面、平面与平面的位置关系以及平面上涉及相关点的轨迹问题等；在复数中，向量与复数结合，使复数更形象化，复数运算具有几何意义．
2．平面向量是数形结合的桥梁．利用向量，可以将形的关系转化为代数运算。通过建立有向线段、向量、坐标表示之间的联系，使平行、垂直、投影、两点间距离、线段定比分点，图形平移等问题代数化．因此，通过本章的学习，要使学生深刻体会形数结合的数学思想．
3．平面向量的观点、方法在物理和其它学科中有广泛的应用，如在位移（三角形法则）、力的合成与分解（平行四边形法则、平面向量基本定理）、功（向量的数量积）中的应用．更重要的是，通过学习要使学生明确之所以有这样广泛的应用，是因为数学是研究现实世界空间形式和数量关系的科学，来源于生产生活实际，又为解决生产生活实际中的问题服务．
由于平面向量是新教材增加的内容，无论是对于教师还是学生都是全新的。作为教师不仅要学习新的知识内容，而且要从思想方法上研究平面向量这一章所蕴含的实质，在原有的知识结构上建构新的认知，加强用向量的观点研究以往教材的知识结构体系，培养学生运用向量解决问题的意识。关于向量的应用，本文后面会举例说明，下面先谈一下这一章教材的结构。
本章教材主要包括这样三部分：首先介绍向量的几何表示（包括向量的加、减、数乘）；然后通过平面向量基本定理这一桥梁（虽然没有证明），引入向量的坐标表示，特别是突出了向量的数量积 与坐标形式 之间的关系，以及两个向量平行与垂直的条件；最后是应用，主要包括线段的定比分点坐标公式，平移公式，正弦定理、余弦定理的证明。教材把解三角形的有关内容放在向量这一章，使三角函数这一部分内容与向量联系起来，体现了教材在编写时不分学科（代数、几何）的特点。在这一章，向量的数量积是本章的一个重头戏，因为建立了向量的数量积的概念后，从几何意义上说，我们可以研究向量垂直以及向量之间的夹角，值得注意的是，教材中处理正弦定理、余弦定理的证明时，充分利用了向量的数量积的概念，虽然略显奇特，但留给我们的是更多的思考。
那么，在教学中应该注意那些问题呢？ 
首先，注重基本概念和基本运算的教学 ，突出概念、定理的抽象概括过程。
向量这一章的内容虽然概念多，但大都有其物理上的来源，虽然抽象，却与图形有着密切的联系，向量应用的优越性也是非常明显的。例如，向量的概念是从物理中位移的概念抽象出来，而成为平面内的一自由向量，虽然是抽象的形式符号，依然可以以位移为背景图象，理解上并不困难。又如在向量的加法教学中，如果回避知识的产生过程，按照课本给出加法的三角形法则，生搬概念从而迅速进入解题阶段一上来，就会造成学生的生搬硬套，对知识只是一知半解，但是我们如果在教学中先提出问题：应该怎样定义两个向量的加法？大家在物理中能找到那些依据？那么，数学与物理的结合会使许多学生产生一种新鲜感与一股探求新知识的欲望，从而进入一种紧张的思维状态，在大脑中积极主动的搜寻能抽象出两个向量加法的实际背景。这样学生不仅能正确的表述出怎样求两向量的和，而且还能发现三角形法则和平行四边形法则这两种方法的一致性。还有，在平面向量基本定理这一节的教学中，我们可以先结合物理中力的分解的知识，引导学生自己去总结出这一定理。等等。通过教学要求学生对概念理解深刻到位，运算要准确，尤其是向量互相垂直，平行的充要条件和平面向量基本定理应该熟练掌握，因为这是向量知识灵活应用的基础。
其次，突出向量的应用意识.
新教材之所以增加向量的内容，不仅是因为教材内容的陈旧而增加新的内容以适用形式的需要，更是因为向量是解决问题的有效的思想方法，下面举例说明。
1. 利用向量解决平面几何问题.
例1  如图1正方形OABC两边AB，BC的中点分别为D和E，求∠DOE的余弦值。
解：创造使用求角公式的条件，为此须求 • 。
 = + = +  ，      = + = +  ， 
∴ • =（ +  ）•（  + ）
           = • + （ • + • ）+  • 
∵ ⊥ ， ⊥ ，
∴  • =0， • =0。
又∵ = ，  =  ，
∴ • = =| |2= 。
于是 • = （| |2+| |2）=| |2，
又| |2=| |2+| |2=| |2+ | |2= | |2，
∴cos∠DOE= = = = 
2.利用向量解决立体几何问题：
例2. 如图2所示，已知四面体O－ABC中，M为BC的中点，N为AC的中点，Q为OB的中点，P为OA的中点，若AB=OC，证明: PM⊥QN。
分析：本题可以利用传统的方法证明，也可以利用向量知识证明。
证明  ∵M是BC的中点，连结OM，
∴ = （ + ）。
同理由N是AC的中点，得 = （ + ）。
∵ = + 
= （ + + ）
      = （ － + ）
= （ + ），
 = + 
= （ + + ）
= （ － + ）
= （ + ）
=  （ － ）。
∴ • = （ + ）• （ － ）
= （ － ）。
∵| |=| |，
∴ • =0，即PM⊥QN。
评注：利用向量解几何题，关键是将有关线段设为基底向量，不同的设法可出现不同的解法。
3.利用向量解决有关不等式、函数最值问题.
例3.证明柯西不等式   （当且仅当 时等号成立）
    证明：令 
（1） 当 或 时， ，结论显然成立；
（2） 当 且 时，令 为 的夹角，则 
          . 又  
    （当且仅当 时等号成立）
    
    .（当且仅当 时等号成立）
例4、求函数 的最大值。
解：由于 
= ，
所以，可设  则有 ，
 = ，
向量数量积的性质得，  ，
即 的最大值是 。
评注：利用向量解有关不等式、函数的最值问题，主要是适当构造向量 ，然后利用向量数量积的性质   处理。
4. 利用向量求解轨迹问题. 
向量本身具有数与形结合的双重身份，这为解决问题过程中充分运用数形结合的思想方法创造了条件。在解析几何中这种数与形的思想方法尤为突出，而求动点轨迹方程既是解析几何中的重点也是难点。
例5.若四边形OABF为平行四边形，其中O为坐标原点，F是抛物线 的焦点，B为抛物线上一点，求点A的轨迹方程。
分析：如图（3），我们容易得到 + = ,

解：设点A（x，y）是轨迹上任意一点，且B（a，b），易得F(3,2)  ，则 =（-3，-2） ，  =（a-3,b-2）,  =(x-3,y-2)，则由 + = 得                       
    
整理，得     
即为所求的点A的轨迹方程.
评注：本题利用向量的加法解题，比利用平行四边形的性质较容易，简捷，并且其中运算量也不大。
5.利用向量解决有关三角函数的问题.
在教材中，利用向量证明正弦定理以及余弦定理已经让我们看到了向量数量积的奇特作用，下面再举一例说明。
例6.利用向量方法证明公式： 
证明：如图4在单位圆中做向量 ，与x轴正向的夹角分别是α、β，则点A的坐标是 ，点B的坐标是 ，则 ，又 ，而 ，所以等式成立。
评注：这种证明方法主要利用向量数量积的定义及其坐标表示，通俗易懂，学生很容易掌握。
向量的应用是一种新的思想方法,由于常规视角的转变，形成了新的探索途径，容易激发所有学生的参与，探索新的解题途径，展示各自的思维能力和创新意识。但是在教学中一定要注意，学生在一开始并不能很快进入状态，在教学中不应操之过急,要注意控制难度以及逐步渗透。因此数学教学中我们努力做到：深钻教材，追踪数学家的思路；稚化模拟，展现教师思路；放手探索，激活学生思路．这样教、学相得益彰，师生在互动学习中才能得到提高.